Détecter une Matrice de Toeplitz : 3 Méthodes Simples et Rapides (Avec Exemples)

Vous vous demandez si une matrice donnée est une matrice de Toeplitz ? Ce guide complet vous présente 3 approches testées et approuvées pour le déterminer efficacement, avec des explications claires et des exemples concrets. Apprenez à identifier ces matrices diagonales constantes !

Qu'est-ce qu'une matrice de Toeplitz ? C'est simplement une matrice où chaque diagonale descendante de gauche à droite a la même valeur. Vérifions ensemble si votre matrice répond à cette caractéristique.

1. Vérification Directe de Chaque Diagonale : La Méthode Exhaustive

Cette méthode explore chaque diagonale pour confirmer si tous ses éléments sont identiques. L'idée est simple : prendre chaque élément de la première ligne et de la première colonne comme point de départ et comparer les éléments sur la diagonale descendante.

• Comment ça marche ? On compare mat[i][j] à mat[x][y] pour chaque i = x+1, j = y+1 jusqu'à atteindre les bords de la matrice. Si un élément ne correspond pas, la matrice n'est pas de Toeplitz.

• Quand l'utiliser ? C'est une bonne approche si la taille de la matrice n'est pas excessive et que la simplicité est votre priorité.

def est_toeplitz(mat):
    n = len(mat)
    m = len(mat[0])

    def verifier_diagonale(x, y):
        valeur = mat[x][y]
        i, j = x + 1, y + 1
        while i < n and j < m:
            if mat[i][j] != valeur:
                return False
            i += 1
            j += 1
        return True

    for j in range(m):
        if not verifier_diagonale(0, j):
            return False
    for i in range(n):
        if not verifier_diagonale(i, 0):
            return False
    return True

• Complexité temporelle : O(n*n).
• Complexité spatiale : O(1). Pas de mémoire supplémentaire utilisée.

2. Comparaison des Éléments Voisins : La Méthode Efficace

Plutôt que de vérifier chaque diagonale séparément, on peut simplement comparer chaque élément à son voisin du coin supérieur gauche. Si un élément diffère de son voisin en diagonale, la matrice n'est pas de Toeplitz.

• Pourquoi c'est rapide ? On évite de recalculer des informations déjà connues grâce à la comparaison directe.

• Étapes clés : Parcourez chaque cellule à partir de la deuxième ligne et deuxième colonne. Si mat[i][j] != mat[i - 1][j - 1], retournez False.

def est_toeplitz_efficace(mat):
    n = len(mat)
    m = len(mat[0])
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            if mat[i][j] != mat[i-1][j-1]:
                return False
    return True

• Complexité temporelle : O(n*n).
• Complexité spatiale : O(1).

3. Utilisation du Hachage pour une Vérification Astucieuse : La Méthode Alternative

Ici, on utilise une table de hachage pour stocker la première valeur rencontrée pour chaque diagonale. On calcule une clé unique pour chaque diagonale (indice de ligne moins l'indice de colonne) et on vérifie si la valeur actuelle correspond à la valeur stockée.

• Comment la table de hachage aide ? Elle permet de retrouver rapidement la valeur attendue pour chaque diagonale.

• Un cas d'utilisation spécifique : Utile lorsque vous devez vérifier plusieurs matrices potentiellement Toeplitz avec les mêmes dimensions.

def est_toeplitz_hachage(mat):
    n = len(mat)
    m = len(mat[0])
    mp = {}
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            key = i - j
            if key in mp:
                if mat[i][j] != mp[key]:
                    return False
            else:
                mp[key] = mat[i][j]
    return True

• Complexité temporelle : O(n*n).
• Complexité spatiale : O(n). La taille du hachage dépend du nombre de diagonales uniques.

Quel algorithme devriez-vous privilégier ?

Si l'optimisation de la mémoire est essentielle, la méthode de comparaison des éléments voisins est idéale. Si vous manipulez de nombreuses matrices et que la réutilisation est primordiale, l'approche par hachage peut être favorisée.

Identifier une matrice de Toeplitz est maintenant à votre portée. Expérimentez ces méthodes et choisissez celle qui convient le mieux à vos besoins!