解析における推定値の自動検証：GitHubコード解説

この記事では、GitHubで公開されているコードを利用し、解析における推定値の自動検証を行う方法について解説します。特に、正の量に関する不等式の証明に焦点を当て、具体的なコード例を交えながら、その仕組みと応用例を分かりやすく説明します。

推定値検証自動化の概要

このコードは、与えられた仮定（axioms）に基づいて、不等式が成り立つかどうかを自動的に検証するものです。具体的には、考えられるすべてのケースを総当たりで試し、不等式が各ケースで成立するかどうかを確認します。

• 対象: 正の量に関する不等式（定数倍を許容）
• 手法: 総当たり（brute force case splitting）
• 目的: 推定値の自動証明・検証

基本的な使用例：min(a, b) ≤ max(a, b) の証明

以下のコードは、min(a, b) が max(a, b) 以下であることを証明する例です。

a = Variable("a")
b = Variable("b")
assumptions = Assumptions()
assumptions.can_bound(min(a, b), max(a, b))

このコードを実行すると、a <~ b と b <~ a のケースに分割され、それぞれについて不等式が成立するかどうかが検証されます。最終的に、すべてのケースで不等式が成立することが確認され、「Bound was proven true in all cases!」というメッセージが表示されます。

AM-GM不等式（弱形式）の証明

以下のコードは、AM-GM不等式（相加相乗平均の不等式）の弱形式を証明する例です。

a = Variable("a")
b = Variable("b")
c = Variable("c")
assumptions = Assumptions()
assumptions.can_bound((a * b * c) ** (1 / 3), max(a, b, c))

このコードは a <= b <= c などのケースに分割され、各ケースで不等式が成立するかどうかを検証します。

仮定の追加と演繹推論の例

既存の仮定に基づいて、新たな不等式を導出することも可能です。以下の例では、a <= b, b <= c, c <= d という仮定から、a * c <= b * d を証明します。

a = Variable("a")
b = Variable("b")
c = Variable("c")
d = Variable("d")
assumptions = Assumptions()
assumptions.add(a <= b)
assumptions.add(b <= c)
assumptions.add(c <= d)
assumptions.can_bound(a * c, b * d)

証明が失敗するケース

仮定が不十分な場合、証明が失敗することもあります。例えば、上記の例で a * d <= b * c を証明しようとすると、仮定だけでは証明できないため "Unable to verify bound." と表示されます。

Littlewood-Paley条件の導入

このコードでは、Littlewood-Paley条件と呼ばれる特殊な制約を導入することも可能です。この条件は、PDE（偏微分方程式）における非線形相互作用などを考慮する際に役立ちます。

a = Variable("a")
b = Variable("b")
c = Variable("c")
assumptions = Assumptions()
assumptions.add_lp(a,b,c)
assumptions.can_bound(max(a, b, c)**2 * min(a,b,c), a * b * c)

まとめ

このGitHubで公開されているコードは、解析における推定値の自動検証を可能にする強力なツールです。総当たりによる検証という非効率な手法ではありますが、複雑な不等式の成立を形式的に証明することができます。正の量に関する不等式の検証や、既存の仮定からの演繹推論など、さまざまな応用が可能です。ぜひご自身の研究や開発に役立ててみてください。